Question

11．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0\;，\;\;ω＞0\;，\;\;|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一个周期内的图象如图所示，图象过点$（{0\;，\;\;\sqrt{3}}）$，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为高为$2\sqrt{3}$的正三角形．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）当$x∈[{-\frac{2}{3}\;，\;\;\frac{4}{3}}]$时，求函数f（x）的值域；
（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象的一个对称中心为$（{\frac{2}{3}\;，\;\;0}）$，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象，结合三角函数的性质即可求A，ω和φ的值，
（2）根据三角函数的解析式，求出角的范围即可求出函数的值域，
（3）利用三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC为高为$2\sqrt{3}$的正三角形，
∴A=2$\sqrt{3}$，
则sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则AB=BC=4，
即函数的周期T=2BC=8=$\frac{2π}{ω}$，
则ω=$\frac{π}{4}$，
此时f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
∵图象过点$（{0\;，\;\;\sqrt{3}}）$，
∴f（0）=2$\sqrt{3}$sinφ=$\sqrt{3}$，
则sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
即A=2$\sqrt{3}$，ω=$\frac{π}{4}$，φ=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$），
当$x∈[{-\frac{2}{3}\;，\;\;\frac{4}{3}}]$时，
即-$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$，
则0≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，
∴当$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为2$\sqrt{3}$，
当$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$=0时，函数取得最小值为0，
即函数f（x）的值域为[0，2$\sqrt{3}$]；
（3）将y=f（x）的图象所在点向左平行移动θ（θ＞0）的单位长度，得到y=g（x）的图象．
即g（x）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{4}$（x+θ）+$\frac{π}{6}$]=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$θ+$\frac{π}{6}$），
若y=g（x）的图象的一个对称中心为$（{\frac{2}{3}\;，\;\;0}）$，
即$\frac{π}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{4}$θ+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z
则θ=4k-$\frac{4}{3}$，k∈Z．
∵θ＞0，∴当k=1时，θ取得最小值此时θ的最小值为4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．