Question

(本小题8分)已知函数，，其中．

（1） 设函数．若在（0，3）上有零点，求的取值范围；

（2）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(本小题8分)

解：（1）因在（0，3）上有且只有一个零点，所以在上有实数解，且无重根，由得    

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；   

（2）当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有；（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；

当时A=B，则对于所有的，即存在使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意