分析 (1)可令n=1,2,3,代入已知等式,结合a1=S1;an=sn-sn-1(n>1),计算即可得到所求值;
(2)猜想可得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通项公式$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n2(n∈N*).运用数学归纳法证明.验证当n=1时,等式成立;再假设n=k(k∈N*),$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k2成立,证明当n=k+1时,结合假设和ak+1=Sk+1-Sk,化简整理,即可得证.
解答 解:(1)an=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n}$)Sn-2n-1(n∈N*),
可得n=1时,a1=S1=($\frac{1}{2}$+1)S1-1,
解得S1=2,即有$\frac{{S}_{1}}{2}$=1;
n=2时,a2=S2-S1=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$)S2-2=14,
解得S2=16,$\frac{{S}_{2}}{4}$=4;
n=3时,a3=S3-S2=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$)S3-22,
解得S3=72,$\frac{{S}_{3}}{8}$=9;
(2)由(1)猜想可得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通项公式为$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n2(n∈N*).
下面运用数学归纳法证明.
①当n=1时,由(1)可得$\frac{{S}_{1}}{2}$=1成立;
②假设n=k(k∈N*),$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k2成立,
当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k+1}$)Sk+1-2k+1-1,
即有($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{k+1}$)Sk+1=Sk-2k=2k•k2-2k=(k2-1)•2k,
则$\frac{k-1}{2(k+1)}$Sk+1=(k+1)(k-1)•2k,
当k=1时,上式显然成立;
当k>1时,Sk+1=2(k+1)2•2k=(k+1)2•2k+1.
即$\frac{{S}_{k+1}}{{2}^{k+1}}$=(k+1)2,
则当n=k+1时,结论也成立.
由①②可得对一切n∈N*,$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n2成立.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,注意运用归纳法和数学归纳法证明,考查化简整理和推理能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$i | B. | $\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$i | C. | 1+$\frac{1}{2}$i | D. | 1-$\frac{1}{2}$i |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{5}{9}$ | C. | -$\frac{1}{4}$ | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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