Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=14，且a_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n}$）S_n-2^n-1（n∈N^*）
（1）求$\frac{{S}_{1}}{2}$，$\frac{{S}_{2}}{4}$，$\frac{{S}_{3}}{8}$；
（2）由（1）猜想数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）可令n=1，2，3，代入已知等式，结合a1=S1；an=sn-sn-1（n＞1），计算即可得到所求值；
（2）猜想可得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通项公式$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²（n∈N^*）．运用数学归纳法证明．验证当n=1时，等式成立；再假设n=k（k∈N^*），$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k²成立，证明当n=k+1时，结合假设和a_k+1=S_k+1-S_k，化简整理，即可得证．

解答 解：（1）a_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n}$）S_n-2^n-1（n∈N^*），
可得n=1时，a₁=S₁=（$\frac{1}{2}$+1）S₁-1，
解得S₁=2，即有$\frac{{S}_{1}}{2}$=1；
n=2时，a₂=S₂-S₁=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）S₂-2=14，
解得S₂=16，$\frac{{S}_{2}}{4}$=4；
n=3时，a₃=S₃-S₂=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）S₃-2²，
解得S₃=72，$\frac{{S}_{3}}{8}$=9；
（2）由（1）猜想可得数列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通项公式为$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²（n∈N^*）．
下面运用数学归纳法证明．
①当n=1时，由（1）可得$\frac{{S}_{1}}{2}$=1成立；
②假设n=k（k∈N^*），$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k²成立，
当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k+1}$）S_k+1-2^k+1-1，
即有（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{k+1}$）S_k+1=S_k-2^k=2^k•k²-2^k=（k²-1）•2^k，
则$\frac{k-1}{2（k+1）}$S_k+1=（k+1）（k-1）•2^k，
当k=1时，上式显然成立；
当k＞1时，S_k+1=2（k+1）²•2^k=（k+1）²•2^k+1．
即$\frac{{S}_{k+1}}{{2}^{k+1}}$=（k+1）²，
则当n=k+1时，结论也成立．
由①②可得对一切n∈N^*，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法和数学归纳法证明，考查化简整理和推理能力，属于中档题．