Question

设函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

，a，b∈R．
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的解析式，然后讨论a是否为0，根据f（x）在[2，+∞）上单调递增，建立关系式，解之即可；
（2）若a=0，则f（x）无最大值，不合题意，于是f（x）为二次函数，根据f（x）有最大值建立关系式，求出取最大值时x的值，于是a²=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

又a∈Z，a＜0，可求符号条件的a、b；
（3）将函数h（x）进行配方可知函数h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），从而求出该等差数列的通项公式．

解答：解：（1）当b=0 时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，则f（x）=-4x 在[2，+∞） 上递减，不合题意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x） 在[2，+∞） 上单调递增，则

a＞0 4 2a ≤2

，即a≥1；（6分）
（2）若a=0，则f（x）=-2

4+2b-b2

x无最大值，不合题意，故a≠0，（7分）
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值⇒

a＜0 4+2b-b2≥0

⇒

a＜0 1- 5 ≤b≤1+ 5

，（9分）
此时，当x=x₀=

4+2b-b2

a

时，f（x）取到最大值，（10分）
显然，当且仅当x=x₀=a时，g（x）取到最小值，故

4+2b-b2

a

=a∈Z，（11分）
于是a²=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

≤

5

(12分)
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以满足题意的实数对为（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x²+4kx-4k²-2x+k=-[x-（2k-1）]²+1（16分）
∴h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），∴x_n=2n-3，n∈N^*．（18分）

点评：本题主要考查了函数的单调性以及函数的最值，同时考查了等差数列的应用，属于中档题．