Question

【题目】已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直线BM的斜率分别记为kAM与kBM ， 且kAMkBM=﹣2 （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出△OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：设M（x，y）， 所以直线AM与直线BM的斜率分别为 ， ，
因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，
所以 =﹣2，化简得： =1（y≠0）．
所以动点M的轨迹C的方程为： =1（y≠0）．
（Ⅱ）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1，
联立直线与椭圆方程，消去y得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，
∵△=（4k2）+4（k2+2）=8（k2+1）＞0，∴k∈R，
设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
S△OPQ= |x1﹣x2|= = ≤
当且仅当k=0时取等号，
△OPQ面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）设M（x，y），由kMA×kMB=﹣2，得 =﹣2，由此能求出点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1，与椭圆联立，得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的最大值．