Question

【题目】如（1）图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．

（1）证明：CD⊥平面A1OC；

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线与平面垂直，在直角梯形中易得，因此只要能证与此平面垂直即可，而同样在梯形中，折叠时，垂直保持不变，因此易得垂直结论；（2）由已知平面A1BE⊥平面BCDE，则可以以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，从而写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角得二面角．

试题解析：（1）证明：在图（1）中，

因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，

，所以BE⊥AC，BE∥CD.

即在图（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

又OA1∩OC＝O，OA1平面A1OC，OC平面A1OC，

从而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，

所以CD⊥平面A1OC.

（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

又由（1）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1BE C的平面角，

所以

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，

所以 ，，

得，

设平面A1BC的法向量n1＝（x1，y1，z1），平面A1CD的法向量n2＝（x2，y2，z2），平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

则得取n1＝（1，1，1）；

得取n2＝（0，1，1），

从而

即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为