Question

已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2，AB=4．求证：
（1）AB⊥PD
（2）求点C到平面PAD的距离
（3）在线段PD上是否存在一点M，使得AM∥平面PBC．

Answer 1

证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD
∵PD?面PAD
∴AB⊥PD；
（2）由V_C-PAB=V_P-ABC
即
（或过D作PA的垂线，求垂线段的长）
（3）假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC．
在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N，连接BN，
则∵AM∥面PBC，AM?面PBC
∴AM∥NB
又MN∥CD，CD∥AB
∴MN∥AB
所以平面AMNB是平行四边形
所以MN=AB
这与MN＜CD＜AB矛盾，
所以假设不成立，
即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC．
分析：（1）由于正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，从而有AB⊥PD；
（2）利用体积相等V_C-PAB=V_P-ABC，可求点C到平面PAD的距离；
（3）利用反证法．假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC．在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N，连接BN，从而可得平面AMNB是平行四边形，所以MN=AB，这与MN＜CD＜AB矛盾，从而可知在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC．
点评：本题以面面垂直为载体，考查证明线面平行、线面垂直的方法，体现了数形结合的数学思想，考查反证法．