Question

（1）利用定义证明：函数f（x）=x³-3x在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
（2）设x₀是方程x³-3x=100的正实数解，利用（1）的结论，求证：4＜x₀＜5．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的证明步骤：取值-作差-变形-判断符号-下结论，在对应的定义域内进行取值，判断符号时需要分类讨论；
（2）先对函数解析式进行化简，判断出x₀所在的单调区间，再由单调性和f（4）=52、f（5）=110，证明出结论正确．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁³-3x₁）-（x₂³-3x₂）

=x13-x23-3x1+3x2 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)

∵0≤x₁＜x₂，即x₁-x₂＜0
当x₁，x₂∈[0，1]时，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＜0，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
当x₁，x₂∈[1，+∞）时，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＞0，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
由单调性定义得：f（x）=x³-3x在[0，1]上单调减，在[1，+∞）上单调增；
（2）由于f（x）=x³-3x=x（x²-3），当0≤x≤

3

时，f（x）≤0＜100，
∴方程x³-3x=100的正实数解x0＞

3

又∵f（x）=x³-3x在[1，+∞）上的增函数，且f（x₀）=100，f（4）=52，f（5）=110，
∴f（4）＜f（x₀）＜f（5），即4＜x₀＜5．

点评：本题考查了函数单调性的证明以及应用，利用定义法证明函数的单调性时，必须遵循取值-作差-变形-判断符号-下结论这个步骤，涉及了分类讨论思想．