Question

已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最值．

Answer 1

解：（1）f^′（x）=（ax+a-2）e^x，
由已知得f^′（1）=0，解得a=1．
当a=1时，f（x）=（x-2）e^x，f^′（x）=（x-1）e^x，在x=1处取得极小值．
∴a=1．
（2）由（1）知，f（x）=（x-2）e^x，f^′（x）=（x-1）e^x，
当x∈[0，1）时，f'（x）=（x-1）e^x＜0，f（x）在区间[0，1）单调递减；
当x∈（1，2]时，f^′（x）＞0，f（x）在区间（1，2]单调递增．
所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e．
又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．
分析：（1）利用f^′（1）=0，求得a的值，再验证是否满足取得极值的充分条件即可；
（2）利用（1）的结论，先求出f（x）在[0，2]上的极值，再求出区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法是解题的关键．