Question

对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₇（x）=x，x∈R}，则集合M为（　　）

A．空集

B．实数集

C．单元素集

D．二元素集

Answer 1

分析：先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可．

解答：解：由题设可知f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=-

x+1

x-1

，f₄（x）=x，
f₅（x）=

x-1

x+1

，f₆（x）=-

1

x

，f₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，
故从f₃（x）开始组成了一个以f（x）为首项，以周期为4重复出现一列代数式，
由2007=3+501×4得f₂₀₀₇（x）=f₃（x），故-

x+1

x-1

=x整理得，x²=-1，无解，
故选A．

点评：本题主要考查了函数的周期性，解题的关键是求函数的周期，同时考查了计算能力，属于基础题．