Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为

x= 3 cosθ y= sinθ

（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．
（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．

解答：解：（1）由ρcos(θ-

π

4

)=2

2

得   ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y-4=0．
由

x= 3 cosθ y= sinθ

得C：

x2

3

+y2=1．
（2）在C：

x2

3

+y2=1上任取一点P(

3

cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离为
d=

| 3 cosθ+sinθ-4|

2

=

|2•sin(θ+ π 3 )-4|

2

≤

|-2-4|

2

=3

2

．
∴当sin(θ+

π

3

)=-1，即θ=-

5

6

π+2kπ，k∈z 时，d_max=3

2

．

点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容，属于中档题．