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    如图，点An(xn，yn)是曲线y2＝2x(y≥0)上的点，点Bn(an，0)是x轴上的点，△Bn－1AnBn是以An为直角顶点的等腰直角三角形，其中n＝1，2，3，…，B0为坐标原点．

    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

    (Ⅱ)设数列bn＝2n－1，求最小正整数m，使得对任意的n∈N*，当n＞m时，an＜bn成立．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)∵点在曲线上，∴，．

    　　∵△是等腰直角三角形，∴　　3分

    　　∵，∴．

    　　由可以解得，

    　　∴，　　5分

    　　∴，∴，　　7分

    　　(Ⅱ)∵当时，，，当时，，，……，

    　　可以猜想，当且时，成立．下面用数学归纳法证之　　9分

    　　设时，成立，即，成立，

    　　当时，

    　　∵，∴，∴成立．

    　　综上，时，对任意的，当时，成立　　12分


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    1
    2
    ，f（
    1
    2
    ））处的切线为l，f′（
    1
    2
    ）=1．
    （Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
    （Ⅱ）点列B1（b1，2），B2（b2，3），…，Bn（bn，n+1）在l上，A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0）依次为x轴上的点，如图，当n∈N*时，点An，Bn，An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形．若x1=a（0＜a＜1），求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a使得数列{xn}是等差数列？如果存在，写出a的一个值；如果不存在，请说明理由．

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    （1）求a1、a2、a3的值；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
    （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．

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    （2006•南京二模）如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    (n∈N*)    ．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
    （Ⅰ）求Q1，Q2的坐标；
    （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）记数列{an•bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜
    1
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    （n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
    （1）求点Q1、Q2的坐标；
    （2）求数列{an} 的通项公式；
    （3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
    1
    3
    ．

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