Question

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＜0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）为奇函数知f（0）=1+k=0；从而求k=-1；
（2）f（x）＜0可化为k＜-（2^x）²，而当x∈[0，+∞）时，-（2^x）²≤-1，从而解得．

解答： 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=1+k=0；
故k=-1；
经检验，f（x）=2^x-2^-x是奇函数；
（2）f（x）＜0可化为k＜-（2^x）²，
而当x∈[0，+∞）时，-（2^x）²≤-1；
故k＜-1．

点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．