Question

已知函数y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x），若向量

a

=(log

1

2

m，  -1)，

b

=(1，-2)，则满足不等式f(

a

•

b

)＜f(-1)的实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先从条件“对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）”得到对称轴，然后结合图象把不等式中的f去掉，得不等式，不等式利用绝对值的定义去掉绝对值符号，把常数写成同底的对数，根据对数函数的单调性求解．

解答：解：∵对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x），∴函数y=f（x）的图象是以x=1为对称轴的开口向下的抛物线，
∵

a

•

b

=log

1

2

m+2，∴|log

1

2

m+2-1|＞|-1-1|，∴|log

1

2

m+1|＞2，∴log

1

2

m＞1或log

1

2

m＜-3，
∴log

1

2

m＞log

1

2

1

2

或log

1

2

m＜log

1

2

8，∴0＜m＜

1

2

或m＞8．
故答案为（0，

1

2

）∪（8，+∞）．

点评：本题关键找出抛物线的对称轴，结合开口向下去掉f，得不等式，解不等式时，去掉绝对值符号利用定义，若不等式一边是对数式，另一边是常数，把这个常数转为同底的对数，根据对数函数的单调性求解，用到数形结合与转化化归的思想．