Question

已知函数f（x）=x²，，且函数g（x）在[-1，1]上单调递减．
（1）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围；
（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2x-m在区间 上有两个根（e为自然对数的底数），试求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因g（x）在[-1，1]上单调递减，所以g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．（3分）
因g（x）在[-1，1]上单调递减，所以[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立
所以λ≥-2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故-2sin1≤λ≤-1
（2）由（1）知f（1+x）=（1+x）²，所以方程为ln（1+x）²=2x-m，
设h（x）=ln（1+x）²-2x+m，则方程根的个数即为函数h（x）的图象与x轴交点个数，
因，
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（-1，0）上为增函数，
当x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上为减函数，
所以h（x）在上为增函数，在（0，e-1]上为减函数，
故h（x）在的最大值为h（0）=m，
又，，方程有两根满足：，
得，即当时，原方程有两解．
分析：（1）求出函数的导数，推出g（x），通过g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，转化为λ≥-2sin1，求λ的取值范围；
（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2x-m在区间 上有两个根（e为自然对数的底数），转化为函数h（x）的图象与x轴交点个数，通过导数判断函数的单调性，求出最大值，得到方程有两个根的条件，求出m的取值范围．
点评：本题是中档题，考查函数导数在解决恒成立问题，以及方程的根的应用，注意转化思想的应用，恒成立的应用，是难度较大的题目，常考题型．