Question

10．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求三棱锥S-BDM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SA的中点G，连结NG，CG，连结AC交BD于O，连结OM证明平面NGC∥平面BDM．然后证明CN∥面BDM；
（Ⅱ）利用V_S-BDM=V_S-ABD-V_M-ABD，转化求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取SA的中点G，连结NG，CG，连结AC交BD于O，连结OM，
由AM=1，可知：$\frac{SG}{GM}$=$\frac{SN}{ND}$=$\frac{2}{1}$，∴NG∥DM．

又NG?平面BDM，DM?平面BDM，∴NG∥平面BDM，
又因为O，M分别AC，AG的中点，∴OM∥CG，CG?平面BDM，OM?平面BDM，∴CG∥平面BDM，NG∩CG=G，∴平面NGC∥平面BDM，∵CG?平面NGC，∴CN∥面BDM；
（Ⅱ）解：因为SA⊥平面ABCD，AD=AB=4，∠BDA=120°，
所以V_S-BDM=V_S-ABD-V_M-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×sin120°×4-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×sin120°×1$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．