Question

已知P是△ABC所在平面α外一点，且PA，PB，PC与平面α所成的角相等，则点P在平面α上的射影一定是△ABC（　　）

A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心

Answer 1

分析：由题设知PO⊥平面ABC．∠PAO=∠PBO=∠PCO．由PO=PO，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∠POA=∠POB=∠POC=90°，知△AOP≌△BOP≌△COP，所以AO=BO=CO，即O是ABC的外心．

解答：证明：连接OA，OB，OC，得
∵P为△ABC所在平面外一点，且在平面ABC上的射影为O
∴PO⊥平面ABC
∴PO⊥AO，PO⊥BO，PO⊥CO
∵PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO
∵PO=PO，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∠POA=∠POB=∠POC=90°
∴△AOP≌△BOP≌△COP
∴AO=BO=CO
∴O是ABC的外心
故选B．

点评：三角形的内心是三条角平分线的交点，且这点到三边的距离相等；三角形的外心是三边中垂线的交点，且这点到三角形三顶点的距离相等；三角形的重心是三条中线的交点，且这点到顶点的距离等于这点到对边距离的二倍；三角形的垂心是三条高的交点．