Question

（2013•江苏一模）已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若边MF₁的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为

3

+1

．

Answer 1

分析：根据A是正三角形MF₁F₂的边MF₁的中点，得到△AF₁F₂是直角三角形，设F₁F₂=2c，可得AF₁=c，AF₂=

3

c，最后根据双曲线的定义，得2a=|AF₁-AF₂|=（

3

-1）c，利用双曲线的离心率的公式，可得该双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵线段F₁F₂为边作正三角形△MF₁F₂
∴MF₁=F₁F₂=2c，（c是双曲线的半焦距）
又∵MF₁的中点A在双曲线上，
∴Rt△AF₁F₂中，AF₁=c，AF₂=

F1F22-AF12

=

3

c，
根据双曲线的定义，得2a=|AF₁-AF₂|=（

3

-1）c，
∴双曲线的离心率e=

2c

2a

=

2c

( 3-1 ) c

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形，其一边中点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题．