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    设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．
    （1）求{an}，{bn}的通项公式；
    （2）记cn=an-2010，n∈N*，An为数列{cn}的前n项和，当n为多少时An取得最大值或最小值？
    （3）（理）是否存在正数K，使得(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )≥K
    		2n+1
    对一切n∈N*均成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．
    （4）（文）求数列{
    an
    bn
    }    的前n项和Sn．
    分析：（1）先设公差是d，公比是q，根据a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7，列出关于d、q的方程组，解出d、q即可求出求an，bn的通项公式；
    （2）当cn≥0，求出n≥1005.5，当cn＞0，n≥1006，进而可知当n=1005时，An取得最小值；
    （3）因为K≤
    1
    		2n+1
    (1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    an
    )    等价于K≤F（n）min，其中F(n)=
    1
    		2n+1
    (1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    an
    )    ，研究其单调得出F（n）是递增的，从而K≤F(n)min=F(1)=
    2
    		3
    3

    （4）由于
    an
    bn
    =
    2n-1
    2n-1
    ．Sn=1+
    3
    21
    +
    5
    22
    +…+
    2n-3
    2n-2
    +
    2n-1
    2n-1
    利用错位相减法求得Sn=6-
    2n+3
    2n-1
    ；
    解答：解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q＞0且
    1+d+q2=7
    1+2d+q=7

    解得d=2，q=2．（2分）
    所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．（2分）
    （2）因为cn=an-2010=2n-2011≥0?n≥1005.5，所以，当1≤n≤1005时，cn＜0，当n≥1006时，cn＞0．（2分）
    所以当n=1005时，An取得最小值．（2分）
    （3）K≤
    1
    		2n+1
    (1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    an
    )    等价于K≤F（n）min，
    其中F(n)=
    1
    		2n+1
    (1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    an
    )    ；（2分）
    因为：F(n+1)-F(n)=(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    an
    )[
    1
    		2n+3
    (1+
    1
    2n+1
    )-
    1
    		2n+1
    ]＞0?
    1
    		2n+3
    •
    2n+2
    2n+1
    )＞
    1
    		2n+1
    ?
    1
    		2n+3
    •
    2n+2
    		2n+1
    )＞1?2n+2＞
    		2n+3
    •
    		2n+1
    ?4n2+8n+4＞4n2+8n+3?4＞3显然成立，所以F（n）是递增的．（4分）
    从而K≤F(n)min=F(1)=
    2
    		3
    3
    ．（2分）
    或因为：
    F(n+1)
    F(n)
    =
    2n+2
    		(2n+3)(2n+1)
    =
    2(n+1)
    		4(n+1)2-1
    ＞
    2(n+1)
    2(n+1)
    =1    ，
    所以：F（n）是递增的．（4分）；
    从而K≤F(n)min=F(1)=
    2
    		3
    3
    ．（2分）
    （4）
    an
    bn
    =
    2n-1
    2n-1
    ．Sn=1+
    3
    21
    +
    5
    22
    +…+
    2n-3
    2n-2
    +
    2n-1
    2n-1
    ①（2分）
    2Sn=2+3+
    5
    2
    +…+
    2n-3
    2n-3
    +
    2n-1
    2n-2
    ②
    ②-①得Sn=2+2+
    2
    2
    +
    2
    22
    ++
    2
    2n-2
    -
    2n-1
    2n-1
    （2分）
    =2+2×(1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-2
    )-
    2n-1
    2n-1
    =2+2×
    1-
    1
    2n-1
    1-
    1
    2
    -
    2n-1
    2n-1
    （3分）
    =6-
    2n+3
    2n-1
    ．（1分）
    点评：本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求法以及数列的最值问题，对于等差数列和等比数列相乘形式数列，一般采取错位相减的办法求数列的前n项和，一定要熟练掌握．
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