Question

2．已知函数$y=2sin（\frac{π}{3}-\frac{1}{2}x）$
（1）求函数的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时自变量x的集合．
（2）求函数的单调增区间
（3）求函数在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值求得函数的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时自变量x的集合．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数的单调增区间．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$的值域．

解答 解：（1）对于函数$y=2sin（\frac{π}{3}-\frac{1}{2}x）$=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），它的最大值为2，此时，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即x=4kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，自变量x的集合为{x|x=4kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
它的最小值为-2，此时，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，自变量x的集合为{x|x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{11π}{3}$，
故函数的增区间为[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]，k∈Z．
（3）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{4}$]，故函数y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减，
∴故当x=-$\frac{π}{6}$时，y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）取得最大值为2sin $\frac{5π}{12}$=2sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+2cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{4}$，
当x=$\frac{π}{6}$时，y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）取得最小值为2sin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，故函数的值域为[-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦函数的最值、正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．