【题目】已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
(Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0 , h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若 >0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵ ,
∴
∵a>2,∴ ,
令f′(x)>0,即 ,
∵x>0,∴0<x<1或 ,
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),
(Ⅱ)解法一:当a=4时,
所以在点P处的切线方程为
若函数 存在“类对称点”P(x0 , f(x0)),
则等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),
当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立.
① 当0<x<x0时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于 恒成立,
即当0<x<x0时, 恒成立,
令 ,则φ(x0)=0,…(7分)
要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)单调递增即可.
又∵ ,
∴ ,即 .
②当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立时, .
∴ .
所以y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 .
(Ⅱ)解法二:
猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 .
下面加以证明:
当 时,
① 当 时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于 恒成立,
令
∵ ,∴函数φ(x)在 上单调递增,
从而当 时, 恒成立,
即当 时,f(x)<g(x)恒成立.
②同理当 时,f(x)>g(x)恒成立.
综上知y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,结合a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)法一:a=4时,求出f(x)的导数,得到切线方程根据新定义问题等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),结合函数的单调性求出即可;
法二:猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 ,然后加以证明即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个焦点与抛物线 的焦点相同,F1 , F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的任意一点N(x0 , y0),从原点O向圆N:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(0,0),B(4,3),若A,B,C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC,且直线BC与x轴交于点D.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)求点C的坐标.
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【题目】已知数列{an}的各项均为正整数,其前n项和为Sn , an+1= ,若S3=10,则S180=( )
A.600或900
B.900或560
C.900
D.600
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【题目】若函数 的图象向左平移 个单位,得到函数g(x)的图象,则下列关于g(x)叙述正确的是( )
A.g(x)的最小正周期为2π
B.g(x)在 内单调递增
C.g(x)的图象关于 对称
D.g(x)的图象关于 对称
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且PA=AD=2, ,E、F分别为AD、PC中点.
(1)求点F到平面PAB的距离;
(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;
(3)求二面角E﹣PC﹣D的大小.
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【题目】(1)设关于的一元二次方程,若是从这四个数中任取的一个数,是从这三个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.
(2)王小一和王小二约定周天下午在银川大阅城四楼运动街区见面,约定5:00—6:00见面,先到的等另一人半小时,没来就可以先走了,假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等,求他们两个能相遇的概率有多大?
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