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【题目】已知函数.

(1)若,恒有成立,求实数的取值范围;

(2)若函数有两个极值点,求证:.

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值即可;

(2)函数有两个极值点,即导函数有两个不同的实数根,对进行分类讨论,令,构造,利用的单调性证明不等式即可.

试题解析:

(1)由,恒有成立,即对任意成立,

单增;当单减;最大值为

所以

(2)函数有两个相异的极值点,即有两个不同的实数根.

①当时, 单调递增, 不可能有两个不同的实根;

②当时,设

时,单调递增;

时,单调递减;

,∴

不妨设,∵

先证,即证,即证

,即证,设

,函数单调递减,

,∴,又,∴

练习册系列答案
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(1)y=|x+1|; (2)y=-x2+ax;

(3)y=|2x-1|; (4)y=-.

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【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如表:

方式

实施地点

大雨

中雨

小雨

模拟实验总次数

4次

6次

2次

12次

3次

6次

3次

12次

2次

2次

8次

12次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模拟实验的统计数据:

(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;

(Ⅱ)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望

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【题目】(本小题满分14分)

如图,边长为4的正方形中,点分别是上的点,将折起,使两点重合于.

(1)求证:

(2)当时,

求四棱锥的体积.

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【题目】已知函数.

(1)若函数在点处的切线方程为,求的值;

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A. B.

C. D.

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【题目】已知数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种并将其补充完整.

思路1:先设的值为1,根据已知条件,计算出_________ __________ _________

猜想: _______.

然后用数学归纳法证明.证明过程如下:

①当时,________________,猜想成立

②假设N*)时,猜想成立,即_______

那么,当时,由已知,得_________

,两式相减并化简,得_____________(用含的代数式表示).

所以,当时,猜想也成立.

根据①和②,可知猜想对任何N*都成立.

思路2:先设的值为1,根据已知条件,计算出_____________

由已知,写出的关系式: _____________________

两式相减,得的递推关系式: ____________________

整理: ____________

发现:数列是首项为________,公比为_______的等比数列.

得出:数列的通项公式____,进而得到____________

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【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:

年龄

人数

4

5

8

5

3

年龄

人数

6

7

3

5

4

经调查年龄在的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人,现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.

(Ⅰ)求年龄在的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;

(Ⅱ)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为求随机变量的分布列和数学期望

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