Question

3．如图1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD=3BC=3，CE=1，将△CDE沿CE折起得到四棱锥F-ABCE（如图2），G是AF的中点．
（1）求证：BG∥平面FCE；
（2）当平面PCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F-BEG的体积．

Answer 1

分析 （1）取EF中点H，连接GH，使得GH平行且等于$\frac{1}{2}$AE=1，证明四边形GHCB是平行四边形，可得BG∥CH，即可证明BG∥平面FCE；
（2）当平面PCE⊥平面ABCE时，EF⊥平面ABCE，利用分割法求三棱锥F-BEG的体积．

解答 （1）证明：∵CE⊥AD，BC=1，AD=3，
∴DE=1，AE=2，
取EF中点H，连接GH，使得GH平行且等于$\frac{1}{2}$AE=1，∴GH平行且等于BC，
∴四边形GHCB是平行四边形，
∴BG∥CH，
∵BG?平面FCE，CH?平面FCE，
∴BG∥平面FCE；
（2）当平面PCE⊥平面ABCE时，EF⊥平面ABCE．
S_△ABE=$\frac{1}{2}AE•h$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
过G作GT⊥AE，则V_G-ABE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$，V_F-BCE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∴V_F-BEG=V_F-ABCE-V_G-ABE-V_F-BCE=$\frac{1}{2}×1×\frac{（1+3）×1}{2}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．