Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{4}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n=1，2，3…
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式两边取倒数，然后利用构造法证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，代入a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比数列，得到矛盾结论，说明不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，又a₁=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}-1=\frac{1}{3}•\frac{1}{{3}^{n-1}}=\frac{1}{{3}^{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{3}^{n}}+1=\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n}}$，∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+1}$．
假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，
则有（3^s+1）²=（3^m+1）（3^t+1），
即3^2s+2×3^s+1=3^m+t+3^m+3^t+1，
∵2s=m+t，∴得3^m+3^t=2×3^s．
但是${3}^{m}+{3}^{t}≥2\sqrt{{3}^{m}×{3}^{t}}=2×{3}^{s}$，当且仅当m=t时等号成立，
这与m，s，t互不相等矛盾，
∴不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列性质的用法，考查不等式基本性质的应用，是中档题．