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已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2
B
2
=
3
sinB
,b=1
(1)若A=
12
,求边c的大小;
(2)若a=2c,求△ABC的面积.
分析:(1)将已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,变形后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,根据特殊角的三角函数值求出B的度数,再由A的度数,利用三角形的内角和定理即可求出C的度数,由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理即可求出c的值;
(2)由B的度数,求出sinB及cosB的值,利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB,将b=1,a=2c及cosB的值代入求出c的值,进而求出a的值,由a,c及sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答:解:(1)∵2cos2
B
2
=
3
sinB,∴1+cosB=
3
sinB,
∴2(
3
2
sinB-
1
2
cosB)=1,即2sin(B-
π
6
)=1,
∴B-
π
6
=
π
6
6
(舍),解得:B=
π
3
,(3分)
又A=
12
,则C=
π
4

由正弦定理
c
sinC
=
b
sinB
,得c=
bsinC
sinB
=
6
3
;(6分)
(2)∵B=
π
3
,∴sinB=
3
2
,cosB=
1
2

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
将b=1,a=2c,cosB=
1
2
代入,解得:c=
3
3
,则a=
2
3
3
,(8分)
则S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×
2
3
3
×
3
3
sin
π
3
=
3
6
.(10分)
点评:此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函数公式,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,A=60°,a=
15
,c=4,那么sinC=
2
5
5
2
5
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).
(1)求AB边上的高所在的直线方程;
(2)直线l∥AB,与AC,BC依次交于E,F,S△CEF:S△ABC=1:4.求l所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,a=2,b=1,C=60°,则边长c=
3
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,a=2
3
,若
m
=(-cos
A
2
,sin
A
2
)
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
满足
m
n
=
1
2
.(1)若△ABC的面积S=
3
,求b+c的值.(2)求b+c的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(Ⅰ)判断△ABC的形状,并求t=sinA+sinB的取值范围;
(Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,对任意的满足题意的a,b,c都成立,求k的取值范围.

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