Question

设平面向量

a

=(

3

sin(π+x)，2cosx)，

b

=（-2cosx，cosx），已知函数f（x）=

a

•

b

+m在[0，

π

2

]上的最大值为6．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f(x0)=

26

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换化简函数f（x）=

a

•

b

+m的解析式为2sin(2x+

π

6

)+1+m，结合x的范围，根据f（x）的最大值为6，求得m的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，利用条件求得cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，再根据cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]，利用两角差的余弦公式求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

+m=

3

sin(π+x)•(-2cosx)+2cos2x+m
=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，∴f（x）_max=2+1+m=6，
∴m=3．
（Ⅱ）因为f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
由f(x0)=

26

5

得：2sin(2x0+

π

6

)+4=

26

5

，则sin(2x0+

π

6

)=

3

5

．
因为x0∈[

π

4

，

π

2

]，则2x0+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
因此cos(2x0+

π

6

)＜0，所以cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，
于是cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．