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已知直线l:ax-y+
2
-a=0
(a∈R),圆O:x2+y2=4.
(Ⅰ)求证:直线l与圆O相交;
(Ⅱ)判断直线l被圆O截得的弦何时最短?并求出最短弦的长度;
(Ⅲ)如图,已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,
2
),求四边形ABCD的面积的最大值.
分析:(Ⅰ)判断直线恒过定点,证明点在圆的内部,即可得到结论;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,直线l过定点M(1,
2
)
,当l⊥OM时,弦长最短;
(Ⅲ)设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2,垂足分别为E、F,则四边形OEMF为矩形,则有d12+d22=3,表示出AC,BD,可得四边形ABCD的面积,利用基本不等式,即可求得最大值.
解答:(Ⅰ)证明:直线l:y-
2
=a(x-1)
,所以直线l过定点(1,
2
)

12+(
2
)2<4
,∴(1,
2
)
在圆C内部,
∴直线l与圆C相交.…3分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,直线l过定点M(1,
2
)
,当l⊥OM时,弦长最短.…4分
kl=-
1
kOM
=-
2
2
,∴a=-
2
2

此时,l的方程为x+
2
y-3=0
,圆心到直线的距离d=
3
1+2
=
3

所以最短弦长:2
r2-d2
=2
4-3
=2
…7分
(Ⅲ)解:设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2,垂足分别为E、F,则四边形OEMF为矩形,则有d12+d22=3
由平面几何知识知:|AC|=2
4-d12
|BD|=2
4-d22

∴S四边形ABCD=
1
2
|AC|•|BD|=2
4-d12
4-d22
(4-d12)+(4-d22)
=8-(d12+d22)=5(当且仅当d1=d2取等号)
∴四边形ABCD的面积的最大值为5.…12分.
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查圆中弦长的计算,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:ax-y+4=0及圆C:x2+y2-2x-4y+1=0
(1)若直线l与圆C相切,求a的值;
(2)若直线l与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为2
3
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
.
12
01
.
对应的变换作用下变为直线l′:x+by=1.
(Ⅰ)求实数a,b的值;  
(Ⅱ)若点p(x0,y0)在直线上,且A
.
x0 
y0 
.
=
.
x0 
y0 
.
,求点p的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:ax-y+1=0,点A(1,-3),B(2,3),若直线l与线段AB有公共点,则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•福建)选修4-2:矩阵与变换
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
12
01
对应的变换作用下变为直线l′:x+by=1
(I)求实数a,b的值
(II)若点P(x0,y0)在直线l上,且A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
,求点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:ax+y-2
2
=0(a∈R),圆C:x2+y2=1
,若过l上任一点P可作圆的两条切线,设切点为A、B.
(1)求a的范围;
(2)若当两条切线长最短时,他们的夹角是60°,求a的值.

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