Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且△PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点．
（I）求证：AE⊥平面PCD；
（II）求平面PAB与平面PDC所成二面角的大小；
（III）求直线PB与平面PDC所成角的大小．

Answer 1

证明：（I）因为：侧面PAD⊥底面ABCD，所以：CD⊥侧面PAD，可知：AE⊥CD
而在正三角形PAD中，AE是PD边上的中线，也是它上的高，即：AE⊥PD，
∵CD∩PD=D
所以：AE⊥平面PCD
解：（II）∵CD∥AB
∴CD∥平面PAB
设平面PCD 与平面PAB的交线为l
∴CD∥l
∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD
∴CD⊥平面PAD
∴∠APD为平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角
∵△PAD为正三角形
∴∠APD=60°
∴平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角为60°．
（III）∵△PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点
∴AE⊥平面PCD
设AD=a，则AE=
∵AB∥平面PCD
∴B到平面PCD的距离
设直线PB与平面PDC所成角为α
∴
∴
分析：（I）根据侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥侧面PAD，可知：AE⊥CD，又AE⊥PD，所以AE⊥平面PCD
（II）设平面PCD 与平面PAB的交线为l，根据四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，可知CD⊥平面PAD，所以∠APD为平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角，故可求；
（III）先求B到平面PCD的距离，PB的长，设直线PB与平面PDC所成角为α，利用正弦函数可求．
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查面面角，考查线面角，综合性强．