Question

已知函数f（x）=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=(

1

2

)x，可得 0＜t≤1，且 t²+at+1＞0恒成立，由△=a²-4＜0 实数a的取值范围．
（2）令2^x=h，可得h∈[1，2]，且|

1-mh

1+mh

|≤M恒成立．根据m＞0，而|

1-mh

1+mh

|=|-1+

2

1+mh

|≤1+

2

1+m

，可得 1+

2

1+m

≤M，
从而得到M的取值范围．

解答：解：（1）令t=(

1

2

)x，∵x∈[0，+∞），∴0＜t≤1，且 t²+at+1＞0恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围为（-2，2）．
（2）令2^x=h，则当x∈[0，1]时，h∈[1，2]，|

1-mh

1+mh

|≤M恒成立．
∵m＞0，而|

1-mh

1+mh

|=|-1+

2

1+mh

|≤1+

2

1+mh

≤1+

2

1+m

，∴1+

2

1+m

≤M，
故M的取值范围为[1+

2

1+m

，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，函数的恒成立问题，属于中档题．