Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

分析：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．

解答：解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）
由题意可知：∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

∴

x-2

x

=

3

|AM|

∴|AM|=

3x

x-2

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
∵x＞2
∴3x²-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜

8

3

或x＞8
即AN长的取值范围是(2，

8

3

)∪(8，+∞)
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12≥2

3(x-2) 12 x-2

+12=24(10分)
当且仅当3(x-2)=

12

x-2

，即x=4时，取“=”号
即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．
解法二：∵S=

3x2

x-2

(x＞2)∴S′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x2-12x

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

令S'=0得x=4
当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0
当x=4时，S取极小值，且为最小值．
即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．

点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．