Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q，则“q=-1”是“数列{a_n}为等比数列”的

1. A.
   必要不充分条件
2. B.
   充分不必要条件
3. C.
   充分必要条件
4. D.
   既不充分又不必要条件

Answer 1

A
分析：先求出a₁的值，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1进而可判定n≥2时，{a_n}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{a_n}是等比数列，从而{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；反之，q=-1时，当p=0或p=-1时，{a_n}不是等比数列；利用充要条件的定义得到结论．
解答：证明：当n=1时，a₁=S₁=p+q；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，
则 =p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，
即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
反之，q=-1时，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，
当p=0或p=-1时，{a_n}不是等比数列
所以“q=-1”是“数列{a_n}为等比数列”的必要不充分条件．
点评：本题主要考查等比数列的充要条件，考查基础知识的综合运用．