Question

18．在四面体ABCD中，AB=3，BC=7，CD=11，DA=9．则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可画出四面体ABCD，然后作DE⊥AC，垂足为E，并且连接BE，容易得出BC²-AB²=CD²-DA²=CE²-AE²，根据余弦定理可分别表示出BC²，AB²，从而可以得出2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=0，进一步可得出cos∠BEC=0，从而得到AC⊥BE，这样由线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面BDE，从而得到AC⊥BD，这时便可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如图，过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，则：
CD²=CE²+DE²，DA²=AE²+DE²；
∴DA²-CD²=CE²-AE²；
又BC²-AB²=DA²-CD²；
∴BC²-AB²=CE²-AE²；
BC²=BE²+CE²-2BE•CE•cos∠BEC，AB²=BE²+AE²-2BE•AE•cos∠AEB；
∴BC²-AB²=CE²-AE²+2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=CE²-AE²；
∴2BE•AE•cos∠AEB-2BE•CE•cos∠BEC=0；
∴2BE•AE•cos∠AEB+2BE•CE•cos∠AEB=0；
即（2BE•AE+2BE•CE）cos∠AEB=0；
∴cos∠AEB=0；
∴∠AEB=90°；
即AC⊥BE，又AC⊥DE，BE∩DE=E；
∴AC⊥平面BDE；
∴AC⊥BD；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$．
故选A．

点评 考查直角三角形边的关系，以及余弦定理，已知三角函数求值，线面垂直的判定定理，向量垂直的充要条件．