Question

函数y=

2x-1

-x的值域是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：令t=

2x-1

≥0，将函数转化成关于t的一道定函数在定区间上的值域问题，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．

解答：解：由于函数y=

2x-1

-x的定义域为[

1

2

，+∞），令t=

2x-1

≥0，可得 x=

t2+1

2

，
∴函数y=

2x-1

-x=t-

t2+1

2

，即 y=-

1

2

t²+t-

1

2

，此二次函数的对称轴为x=1，开口向下．
故当t=1时，函数有最大值为 1，当 t趋于+∞时，y趋于-∞．
故函数y=

2x-1

-x的值域是（-∞，1]，
故答案为 （-∞，1]．

点评：本题主要考查求函数的值域的方法，以及二次函数的性质的应用．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式，属于基础题．