Question

平面直角坐标系xOy中，曲线y=a^x（a＞0且a≠1）在第二象限的部分都在不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（　　）

• A．0＜a≤

  1

  e

• B．

  1

  e

  ≤a＜1
• C．1＜a≤e
• D．a≥e

Answer 1

分析：先画出不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域，然后根据曲线y=a^x（a＞0且a≠1）在第二象限的部分都在不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域内，则考虑零界位置，直线x-y+1=0与曲线y=a^x相切与点（0，1）是零界位置，求出此时a的值，从而得到结论．

解答：解：画出不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域

曲线y=a^x（a＞0且a≠1）在第二象限的部分都在不等式（x+y-1）（x-y+1）＞0表示的平面区域内
∴a＞1，直线x-y+1=0与曲线y=a^x相切与点（0，1）是零界位置
而（a^x）^′=a^xlna，则lna=1即a=e
∴1＜a≤e
故选C．

点评：本题主要考查了二元一次不等式（组）与平面区域，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．