Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），

b

a

=

3

，求A以及f（B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数f（x）=2sin（2x+

π

6

），然后，借助于正弦函数的单调性进行求解值域；
（2）根据三角形的内角和性质，结合诱导公式，得到sinC=2sinA，然后，利用正弦定理的推论得到三边之间的关系，最后借助于余弦定理，求解相应的角度．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
∴f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域[-1，2]；
（2）sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sin（π-C）=2sin（π-A），
∴sinC=2sinA，
∵sinC=

c

2R

，sinA=

a

2R

，（其中R为△ABC外接圆的半径），
∴c=2a，
∵

b

a

=

3

，
∴b=

3

a，
由余弦定理，得
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3a2+4a2-a2

2× 3 a×2a

=

3

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

6

，
∵sinB=

b

a

sinA=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴B=

π

3

（或B=

2π

3

），
∵c＞b＞a，
∴B=

2π

3

（舍去），
∴B=

π

3

，
∴f（B）=2sin（2×

π

3

+

π

6

）=1．

点评：本题综合考查了三角公式及其灵活运用、三角恒等变换公式、余弦定理、正弦定理及其应用，属于中档题．