Question

设f（x）=ax³+bx²+4x，其导函数y=f′（x）的图象经过点(

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3

，0)，（2，0），
（1）求函数f（x）的解析式和极值；
（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=3ax²+2bx+4，把点(

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3

，0)，（2，0）代入f′（x）求出a，b，就得到f（x）．再令f′（x）=0，得x1=

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3

，x₂=2，列表讨论能求出f（x）的极值．
（2）对x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，等价于对x∈[0，3]都有f（x）_min≥（mx²）_max．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+4x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+4，
∵y=f′（x）的图象经过点(

2

3

，0)，（2，0），
∴

4 3 a+ 4 3 b+4=0 12a+4b+4=0

，解得a=1，b=-4，
∴f（x）=x³-4x²+4x，
f′（x）=3x²-8x+4．
令f′（x）=0，得x1=

2

3

，x₂=2，
列表讨论：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴在x=

2

3

处，f（x）取极大值f（

2

3

）=（

2

3

）³-4×（

2

3

）²+4×

2

3

=

32

27

．
在x=2处，f（x）取极小值f（2）=2³-4×2²+4×2=0．
（2）∵对x∈[0，3]都有f（x）≥mx²恒成立，
∴对x∈[0，3]都有f（x）_min≥（mx²）_max．
当x∈[0，3]时，令f′（x）=0，得x1=

2

3

，x₂=2，
∵f（0）=0，f（

2

3

）=

32

27

，f（2）=0，f（3）=3³-4×3²+4×3=3．
∴当x∈[0，3]时，f（x）_min=0．
当m＞0时，mx²在[0，3]内是增函数，当x=3时，（mx²）_max=9m，
∵f（x）_min≥（mx²）_max，∴9m≤0，解得m≤0，不成立；
当m＜0时，mx²在[0，3]内是减函数，当x=0时，（mx²）_max=0，
∵f（x）_min≥（mx²）_max，∴0≥0，成立．∴m＜0．
当m=0时，mx²=0，满足f（x）_min≥（mx²）_max，∴m=0成立．
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数的极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．