Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较f(

1

2n

)与

1

2n

+2的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当x=

1

2n

（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于抽象函数的最值问题，可考虑此函数的单调性；
（Ⅱ）题中条件：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，令x₁=x₂=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2，
利用它进行放缩，可证得答案，
（Ⅲ）因为由题意可得：对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

．结合（I）、（II）可证得（III）．

解答：解：（Ⅰ）设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，则x₂-x₁∈[0，1]．
∴f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2．
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）-2≥0．∴f（x₁）≤f（x₂）． （2分）
则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1）． （3分）
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，∴f（0）=2． （4分）
∴当x=0时，f（x）取得最小值为2；
当x=1时，f（x）取得最大值为3． （6分）
（Ⅱ）在③中，令x₁=x₂=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2（8分）
∴f(

1

2n

)-2≤

1

2

[f(

1

2n-1

)-2]≤

1

22

[f(

1

2n-2

)-2]≤

1

2n

[f(

1

2n-n

)-2]=

1

2n

则f(

1

2n

)≤

1

2n

+2． （11分）
（Ⅲ）对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

． （13分）
由（Ⅰ）与（Ⅱ），得f(x)≤f(

1

2n

)≤

1

2n

+2，又2x+2＞2•

1

2n+1

+2=

1

2n

+2．
∴f（x）＜x+2．
综上所述，对任意x∈[0，1]．f（x）＜x+2恒成立． （16分）

点评：本题考查了抽象函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．