【题目】已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________
【答案】a＝8
【解析】∵y′＝1＋
，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0，由
得ax2＋ax＋2＝0，∵Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8.
一题多解： ∵y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－
，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴点
在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的图象上，故－2＝a×
2＋(a＋2)×＋1，∴a＝8.
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【题目】已知向量
， 
.
（1）若
分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足
的概率；
（2）若
在连续区间
上取值，求满足
的概率.
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【题目】北京大学从参加逐梦计划自主招生考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组
， 
，…， 
后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在
内的频率；
（2）估计本次考试成绩的中位数（结果四舍五入，保留整数）；
（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有
人在分数段
内的概率.
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【题目】设椭圆
： 
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
.
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）若过
、
、
三点的圆恰好与直线
： 
相切，求椭圆
的方程；
（III）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
、
两点，在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由
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【题目】某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为
的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是
的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为
、
的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．
(1)求包装盒的容积
关于
的函数表达式，并求函数的定义域；
(2)当
为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？
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【题目】（题文）（题文）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在
，
，…，
的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示.
（1）根据直方图填写频率分布统计表；
（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）；
（3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在
中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在
和的受访市民恰好各有一人获奖的概率.
分组 | 频数 | 频率 |
| 18 | 0.15 |
| 30 | |
| ||
| 0.2 | |
| 6 | 0.05 |
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