Question

已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，当mn取得最小值时，直线y=-

2

x+2与曲线

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交点个数为______．

Answer 1

由均值不等式
1=

1

m

+

2

n

≥2

1 m • 1 n

，
当且仅当

1

m

=

2

n

时等号成立，
也就是

1

m

=

2

n

=

1

2

，
所以m=2，n=4．
∵

x|x|

m

+

y|y|

n

=1，
∴

x|x|

2

+

y|y|

4

=1．
①当x＞0，y＞0，
表示

x2

2

+

y2

4

=1的椭圆；
②当x＞0，y＜0，
表示

x2

2

-

y2

4

=1以x轴为实轴的双曲线；
③当x＜0，y＞0，
表示

y2

4

-

x2

2

=1以y轴为实轴的双曲线；
④当x＜0，y＜0，
表示-

x2

2

-

y2

4

=1，
因为左边恒≤0所以不可能=右边，
所以此时无解．
所以如图得到图象，
结合图象知直线y=-

2

x+2与曲线

x|x|

m

+

y|y|

n

=1交点个数是2个．
故答案为：2．