Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为x=-2，过点（0，-2）的直线l与抛物线C交于M，N两点，且线段MN的中点的横坐标为2，则直线l的斜率为（　　）

• A． 2或-1
• B． -1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先求出抛物线的方程，再设过点M（0，-2）的直线方程为y=kx-2，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合线段MN的中点的横坐标为2，可求直线l的斜率．

解答 解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-2，
∴$\frac{p}{2}$=2，解得p=4，
∴抛物线C的方程为：y²=8x．
设过点M（0，-2）的直线方程为y=kx-2，
代入抛物线方程，可得k²x²+（-4k-8）x+4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$
∵线段MN的中点的横坐标为2，
∴$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=4
解得k=2或-1，k=-1时，△=0，不符合题意，
∴k=2，
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．