Question

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且a⊥β，则α∥β；
（3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；
（4）若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是

（2），（3），（4）

．

Answer 1

分析：由空间线面平行的几何特征及直线位置的几何特征可以判断（1）的真假；
根据线面垂直的几何特征及面面平行的判定办法，可以判断（2）的真假；
根据面面垂直的判定定理，令α∩β=l，则与l垂直的平面即为满足条件的平面，由此可得（3）的真假；
根据面面垂直，线面垂直，线面平行的几何特征，可以判断（4）的真假．

解答：解：若a∥α且b∥α，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故（1）错误；
若a⊥α且a⊥β，由面面平行的几何特征可得α∥β，故（2）正确；
若α⊥β，则令α∩β=l，则存在平面γ，当l⊥γ时，γ⊥α，γ⊥β，故（3）正确；
若α⊥β，则存在直线l，当l⊥α且l?β时，l∥β，故（4）正确．
故答案为：（2），（3），（4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间直线与平面位置关系的几何特征、性质及判定定理是解答此类问题的关键．