Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求底面ABCD的面积，利用高是SA，可求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，SE是所求二面角的棱，说明∠BSC是所求二面角的平面角，解三角形BSC，可求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M_底面=

1

2

(BC+AD)•AB=

1+0.5

2

×1=

3

4

（2分）
∴四棱锥S-ABCD的体积是V=

1

3

×SA×M底面=

1

3

×1×

3

4

=

1

4

；（4分）

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，
则SE是所求二面角的棱（6分）
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA，
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，
EB是交线．又BC⊥EB，
∴BC⊥面SEB，
故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角（10分）
∵SB=

SA2+AB2

=

2

，BC=1，BC⊥SB
∴tan∠BSC=

BC

SB

=

2

2

即所求二面角的正切值为

2

2

．（12分）

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，二面角及其度量，考查空间想象能力，理解失误能力，是中档题．