Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥     
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知∥ ,
∥且·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

Answer 1

(1) （x≠0）(2) S_max =" 2" ， S_min = 。

（1）设C ( x , y )， ,由①知,
G为△ABC的重心 ，   G(,)  
由②知M是△ABC的外心，M在x轴上
由③知M（，0），
由 得 
化简整理得：（x≠0 ）
（2）F（，0 ）恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y =" k" ( x －)
由
设P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ ) 则x₁ + x₂ =  ,    x₁·x₂ =           

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则| PQ | = ·

       =  ·
=  
RN⊥PQ,把k换成得 | RN
S =| PQ | · | RN |
= 
=) 
                                
≥2 ， ≥16
≤ S  < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 
又当k不存在或k = 0时S = 2
综上可得  ≤ S ≤ 2
S_max =" 2" ， S_min =  

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