Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）．
（1）求角C的弧度数；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{2}absinC$，即可求角C的弧度数；
（2）若c=$\sqrt{3}$，用角表示a+b，即可求a+b的最大值．

解答 解：（1）S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{2}absinC$，
∴tanC=$\sqrt{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴a=2sinA，b=2sinB，
∴a+b=2sinA+2sinB=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，a+b的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查正弦定理的运用，考查三角函数知识的运用，属于中档题．