Question

设函数f(x)=

1 a-2 (x-2)，(x≥a) 1 a-3 (x-3)，(x＜a)

，已知存在t₁，t₂使得f(t1)=

1

2

，f(t2)=

5

2

，则t₁-t₂的取值范围是

(

3

2

，+∞)∪(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：分a＜2，a＞3，2＜a＜3三种情况进行讨论：根据图象的特殊点可作出函数图象，根据图象及函数单调性可表示出f(t1)=

1

2

，f(t2)=

5

2

，由此可得t₁-t₂的取值范围．

解答：解：（1）当a＜2时，作出f（x）的图象如图所示：
由图象知，f(t1)=

1

2

可化为

t1-2

a-2

=

1

2

，得t1=

1

2

(a-2)+2=

1

2

a+1，f(t2)=

5

2

可化为

t2-3

a-3

=

5

2

，得t₂=

5

2

(a-3)+3=

5

2

a-

9

2

，
∴t₁-t₂=（

1

2

a+1）-（

5

2

a-

9

2

）=-2a+

11

2

，
又a＜2，∴-2a＞-4，∴-2a+

11

2

＞-4+

11

2

=

3

2

，即t₁-t₂＞

3

2

；
（2）当a＞3时，作出f（x）的图象如图所示：
由图象知，

t1-3

a-3

=

1

2

，得t1=

1

2

(a-3)+3=

1

2

a+

3

2

，f(t2)=

5

2

可化为5

t2-2

a-2

=

5

2

，得t2=

5

2

(a-2)+2=

5

2

a-3，
∴t₁-t₂=（

1

2

a+

3

2

）-（

5

2

a-3）=-2a+

9

2

，
又a＞3，∴-2a＜-6，-2a+

9

2

＜-

3

2

，即t₁-t₂＜-

3

2

；
（3）当2＜a＜3时，
若x≥a，则

1

a-2

•(x-2)≥

1

a-2

•(a-2)=1；若x＜a，则

1

a-3

•(x-3)＞

1

a-3

•(a-3)=1，
与f(t1)=

1

2

不符，此种情况不可能；
综上所述，t₁-t₂的取值范围是：（

3

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

）．
故答案为：（

3

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

）．

点评：本题考查一次函数的求值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，思维含量较高，正确画出函数图象是解决问题的关键．