Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

6

）
（1）求f（2015π）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）设α为第四象限的角，且

sin3α

sinα

=

1

3

，求f（α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数奇偶性的判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用诱导公式求得f（2015π）的值．
（2）由条件根据f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），可得f（x）=2sin（x+

π

6

）为非奇非偶函数．
（3）由条件求得sin²α=

2

3

，再根据 f（α+

π

3

）=2cosα=2

1-sin2α

，求得结果．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=2sin（x+

π

6

），故f（2015π）=2sin（2015π+

π

6

）=2sin（π+

π

6

）=-2sin

π

6

=-1．
（2）函数f（x）=2sin（x+

π

6

）为非奇非偶函数，
证明：∵f（x）=2sin（x+

π

6

），f（-x）=2sin（-x+

π

6

）=-2sin（x-

π

6

），
∴f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
故函数f（x）=2sin（x+

π

6

）为非奇非偶函数．
（3）∵α为第四象限的角，且

sin3α

sinα

=

1

3

=

3sinα-4sin3α

sinα

=3-4sin²α，
∴sin²α=

2

3

．
∴f（α+

π

3

）=2sin（α+

π

3

+

π

6

）=2cosα=2

1-sin2α

=

2 3

3

．

点评：本题主要考查诱导公式、正弦函数的奇偶性、同角三角函数的基本关系，属于基础题．