Question

8．已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，则异面直线AD₁与BB₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，从而∠B₁BC₁是异面直线AD₁与BB₁所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AD₁与BB₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，
∴∠B₁BC₁是异面直线AD₁与BB₁所成角（或所成角的补角），
∵AB=AD=1，AA₁=2，BB₁⊥B₁C₁，
∴BC₁=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠B₁BC₁=$\frac{B{B}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线AD₁与BB₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．