如图,是以
为直径的半圆
上异于
、
的点,矩形
所在的平面垂直于半圆
所在的平面,且
.
(1)求证:;
(2)若异面直线和
所成的角为
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问,先利用面面垂直的性质得到线面垂直垂直于圆
所在的平面,再利用线面垂直的性质得到
,而在圆内AB为直径,所以
,利用线面垂直的判定得
平面
,最后利用线面垂直的性质得到结论
;第二问,利用向量法,先根据已知条件中的垂直关系建立空间直角坐标系,得到有关点及向量的坐标,利用向量法中的公式,求出平面DCE和平面AEB的法向量,再利用夹角公式求夹角的余弦值.
试题解析:(1)∵平面垂直于圆
所在的平面,两平面的交线为
,
平面
,
,∴
垂直于圆
所在的平面.又
在圆
所在的平面内,∴
.∵
是直角,∴
,∴
平面
,∴
. 6分
(2)如图,
以点为坐标原点,
所在的直线为
轴,过点
与
平行的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.由异面直线
和
所成的角为
,
知
,
∴,∴
,由题设可知
,
,∴
,
.设平面
的一个法向量为
,
由,
得
,
,取
,得
.
∴.又平面
的一个法向量为
,∴
.
平面与平面
所成的锐二面角的余弦值
. 13分
(其他解法可参考给分)
考点:线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将沿AF折起,得到如图所示的三棱锥
,其中
.
(1) 证明://平面
;
(2) 证明:平面
;
(3)当时,求三棱锥
的体积
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角梯形中,
,
,
,如图,把
沿
翻折,使得平面
平面
.
(1)求证:;
(2)若点为线段
中点,求点
到平面
的距离;
(3)在线段上是否存在点
,使得
与平面
所成角为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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