Question

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（4）若对任意满足x₁+x₂=m的正实数x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数有意义，根号里式子必须不小于0，注意x≠0，
（2）设0＜x₁＜x₂≤1，证得f（x₂）-f（x₁）＜0即可，
（3）令y=

1 x -1

，根据反函数的定义解得x与y的关系式，注意反函数的定义域，
（4）根据f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）可得（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²，理解题干可知m=x₁+x₂，然后把把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0，不等式恒成立，解得m的取值范围．

解答：解：（1）由

1

x

-1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化简得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
该关于x₁的不等式对于一切（0，m）内的x₁恒成立．
所以(

m

2

)2-m•

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．

点评：本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是会求出一个函数的反函数，本题第（4）问有点难度，但是只要理解题意，解决恒成立问题也比较简单，本题难度一般．