Question

已知f（x）=

x2

x-1

（x＞1）．
（1）求不等式f（x）＞2x+1的解集；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,其他不等式的解法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）＞2x+1得：

x2

x-1

＞2x+1，结合x＞1，即可求不等式f（x）＞2x+1的解集；
（2）换元，利用基本不等式求函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）由f（x）＞2x+1得：

x2

x-1

＞2x+1，
整理得：x²-x-1＜0，…（3分）
解得：

1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

，…（5分）
又∵x＞1，所以不等式的解集为：(1，

1+ 5

2

)…（6分）
（2）设x-1=t，∵x＞1，∴t＞0，且x=t+1．…（7分）∴f(x)=

(t+1)2

t

=

t2+2t+1

t

=t+

1

t

+2≥2

t• 1 t

+2=4…（11分）
当且仅当t=1即x=2时取“=”号，故f（x）的最小值为4．…（12分）

点评：本题考查解不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．